汝所为人,故行其事;汝所行事,终成汝身。
——西昂如是说
引言
通过概括总结重积分的概念以及奇技淫巧,来更加有效的会学、会用重积分。
概念
咳咳,同学们,现在开始上课,请把书翻到135面,今天我们开始讲新的一章:重积分,我们先假设有一个立方体,它的底是xOy平面上的闭区域D,高为h,那么它的体积就是… 😪💤💤💤💤
欸!欸!欸!怎么都睡了,好好好,现在我换一个方法讲
我们可以这样快速理解二重积分:(零重积分)求和=距离,(一重)定积分=面积,二重积分=体积,三重积分=超体积,四重积分=超超体积,…,n重积分=宇宙无敌超超超超…超体积
说白了还是微分的思想,是把一个大的不能直接求出来的东西分解成若干个(大多数时候是无限)小的可求的东西,然后再加起来,求和。这种思想看起来很笨朴素,但数学家们却偏偏从这里面推导了许多运算规律,结果就直接影响人类几个世纪。
不行,这样写,根本就是浪费时间啊。还是取其精华,弃其糟粕吧。
二重积分定义式:
∬Df(x,y)dσ=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δσi=∬Df(x,y)dxdy
其中D为积分区域,f(x,y)为被积表达式,dσ为面积元素,x,y为积分变量。
三重积分定义式:
∭Ωf(x,y,z)dv=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi,ζi)Δvi
其中dv为体积元素。
二重积分性质
函数可加性
能拆则拆, 跟定积分一样,加和可以拆分开。
∬D[af(x,y)+bg(x,y)]dσ=a∬Df(x,y)dσ+b∬Dg(x,y)dσ
区域可加性
设积分区域D 可以划分为D1和D2,则有:
∬Df(x,y)dσ=∬D1f(x,y)dσ+∬D2f(x,y)dσ
几何意义
高为一时(f(x,y)≡1),则二重积分代表的体积(V)与面积(A)在数值上相等
∬D1dσ=A
有界性
设在D 上m⩽f(x,y)⩽M,D 的面积为A,则有
mA⩽∬Df(x,y)dσ⩽MA
中值定理
如果ƒ (x, y) 在闭区域D 上连续,D 的面积为A,则在D 中至少存在一点(ξ, η),使得
∬Df(x,y)dσ=f(ξ,η)A
奇偶对称性
积分区域D关于x轴对称时,若关于y是奇函数,则值为零,偶函数则倍之。
积分区域D关于y轴对称时,若关于x是奇函数,则值为零,偶函数则倍之。
轮换对称性
若把 x 与 y 对调后, 区域 D 不变 (或区域 D 关于 y=x 对称), 则
∬Df(x,y)dσ=∬Df(y,x)dσ,
往往是把对称的两者相加来简化计算
二重积分计算法
重头戏来了,在考研数二数三中这道题14分,占比10%。
直角坐标法
当两侧边界为垂直于坐标轴的直线时,可以使用此法。
两侧边界垂直于y轴,积分区域如下:
D={(x,y)∣a⩽x⩽b,ϕ1(x)⩽y⩽ϕ2(x)}
那么,就可以用下面公式进行计算:
∬Df(x,y)dσ=∫abA(x)dx=∫ab[∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy]dx
两侧边界垂直于x轴,积分区域如下:
D={(x,y)∣a⩽y⩽b,ϕ1(y)⩽x⩽ϕ2(y)}
此处脑补:y型.jpg
那么,就可以用下面公式进行计算:
∬Df(x,y)dσ=∫cdB(y)dy=∫cd[∫ϕ1(y)ϕ2(y)f(x,y)dx]dy
当东西南北都为两对垂直于坐标轴的直线时,积分区域可以表示为
D={(x,y)∣a⩽x⩽b,c⩽y⩽d}
当被积函数为常数k时,直接k(b−a)(d−c)就行了,
当被积函数可分离变量时,即f(x,y)=g(x)h(y),则可以:
∬Df(x,y)dσ=(∫abg(x)dx)(∫cdh(y)dy)
极坐标法
熟练掌握极坐标,拉开差距。
回顾
- 直角坐标与极坐标的关系
(ρ,θ)→(x,y) |
(x,y)→(ρ,θ) |
x=ρcosθ |
ρ2=x2+y2 |
y=ρsinθ |
θ=arctan(xy) |
- 常见极坐标方程
-
圆:
(1)圆心在极点, 半径为 r 的圆: ρ=r
(2) 圆心为 M(a,0), 半径为 a 的圆: ρ=2acosθ
(3) 圆心为 M(a,2π), 半径为 a 的圆: ρ=2asinθ
-
直线
(1)直线过极点, 直线的倾斜角为 α:θ=α(ρ∈R)
(2)直线过点 M(a,0), 且垂直于极轴: ρcosθ=a
(3)直线过点 M(a,2π), 且平行于极轴: ρsinθ=a
-
圆锥曲线
(1)椭圆:ρ21=a2cos2θ+b2sin2θ
(2)双曲线:ρ21=a2cos2θ−b2sin2θ
(3)统一形式:ρ=1−ecosθep
应用
值得注意的是,当积分区域为圆盘或圆盘一部分时,即D={(ρ,θ)∣α≤θ≤β,ϕ1(θ)≤ρ≤ϕ2(θ)},用极坐标更为简便:
∬Df(x,y)dσ=∬Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ
具体步骤就是:先找到θ的范围,再求ρ的函数
选择原则
奇技淫巧
三重积分计算法
切薯条法(先一后二)
先沿一个方向进行积分,再进行二重积分,可以类比二重积分中的直角坐标法,
当积分区域可以表示为:Ω={(x,y,z)∣(x,y)∈Dxyz1(x,y)⩽z⩽z2(x,y)},
可以用下式计算三重积分:
∭Ωf(x,y,z)dv=∬Dxy[∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dxdy
切薯片法(先二后一)
跟前面的方法反过来,当积分区域可以表示为:Ω={(x,y,z)c1⩽z⩽c2, (x,y)∈Dz},
可以这样计算三重积分:
∭Ωf(x,y,z)dv=∫C1c2[∬Dzf(x,y,z)dxdy]dz
极坐标法
无需多言,就多了个z罢了
∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ωf(ρcosθ,ρsinθ,z)ρdρdθdz
🎁
有原函数但无法直接求导的常见函数:
当遇到这种情况时,就用技巧吧,三角变换,交换积分次序,极坐标法…
∫xsinxdx ∫xcosxdx ∫xtanxdx ∫xexdx
∫sinx2dx ∫cosx2dx ∫tanx2dx ∫lnxdx
∫eax2+bx+cdx(ex2dx;∫e−x2dx)