基本Logic
Not necessarily. This is a classic example of Munchhausen’s Trilemma:
either the reason is predicated on a series of sub-reasons, leading to an infinite regression; or it tracks back to arbitrary axiomatic statements; or it’s ultimately circular.
i.e., I’m moving out because I’m moving out.
-from 《The Big Bang Theory 2007》
前提&结论
(条件命题)一个命题都有前提和结论两部分,以若(前提),则(结论)的形式表示。
条件
充分条件
充分条件前推后,若p,则q
,亦即
必要条件
必要条件后推前,若p发生,则q一定发生
,亦即
充要条件
充要条件两头推,亦即
常用的基本论证形式
名字 | 相继式 | 描述 |
---|---|---|
肯定前件论式 | (p ⇒ q) ; p ├ q | 若 p 则 q;p ,所以 q |
否定后件论式 | (p ⇒ q) ; ¬q ├ ¬p | 若 p 则 q;非 q;所以,非 p |
假言三段论式 | (p ⇒ q) ; (q ⇒ r) ├ (p ⇒ r) | 若 p 则 q;若 q 则 r;所以,若 p 则 r |
选言三段论式 | (p ∨ q) ; ¬p ├ q | 要么 p 要么 q;非 p;所以, q |
创造性二难论式 | (p ⇒ q)∧(r ⇒ s) ; (p ∨ r) ├ (q ∨ s) | 若 p 则 q;并且若 r 则 s;但是要么 p 要么 r;所以,要么 q 要么 s |
破坏性二难论式 | (p ⇒ q)∧(r ⇒ s) ; (¬q ∨ ¬s) ├ (¬p ∨ ¬r) | 若 p 则 q;并且若 r 则 s;但是要么非 q 要么非 s;所以,要么非 p 要么非 r |
简化论式 | (p ∧ q) ├ p | p 与 q 为真;所以,p 为真 |
合取式 | p, q ├ (p ∧ q) | p 与 q 分别为真;所以,它们结合起来是真 |
增加论式 | p ├ (p ∨ q) | p 是真;所以析取式(p 或 q)为真 |
合成论式 | (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) ├ p ⇒ (q ∧ r) | 若 p 则 q;并且若 p 则 r;所以,若 p 是真则 q 与 r 为真 |
德·摩根定律(1) | ¬(p ∧ q) ├ (¬p ∨ ¬ q) | (p 与 q)的否定等价于(非 p 或非 q) |
德·摩根定律(2) | ¬(p ∨ q) ├ (¬p ∧ ¬ q) | (p 或 q)的否定等价于(非 p 与非 q) |
交换律(1) | (p ∨ q) ├ (q ∨ p) | (p 或 q)等价于(q 或 p) |
交换律(2) | (p ∧ q) ├ (q ∧ p) | (p 与 q)等价于(q 与 p) |
结合律(1) | p ∨ (q ∨ r) ├ (p ∨ q) ∨ r | p 或(q 或 r)等价于(p 或 q)或 r |
结合律(2) | p ∧ (q ∧ r) ├ (p ∧ q) ∧ r | p 与(q 与 r)等价于(p 与 q)与 r |
分配律(1) | p ∧ (q ∨ r) ├ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) | p 与(q 或 r)等价于(p 与 q)或(p 与 r) |
分配律(2) | p ∨ (q ∧ r) ├ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) | p 或(q 与 r)等价于(p 或 q)与(p 或 r) |
双重否定律 | p ├ ¬¬p | p 等价于非 p 的否定 |
换位律 | (p ⇒ q) ├ (¬q ⇒ ¬p) | 若 p 则 q 等价于若非 q 则非 p |
实质蕴涵律(蕴析律) | (p ⇒ q) ├ (¬p ∨ q) | 若 p 则 q 等价于要么非 p 要么 q |
实质等价律(1) | (p ↔ q) ├ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) | (p 当且仅当q) 意味着,(若 p 是真则 q 是真)与(若 q 是真则 p 是真) |
实质等价律(2) | (p ↔ q) ├ (p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p) | (p 当且仅当q) 意味着,要么(p 与 q 都是真)要么(p 和 q 都是假) |
输出律 | (p ∧ q) ⇒ r ├ p ⇒ (q ⇒ r) | 从(如 p 与 q 是真则 r 是真)可推出(若 q 是真则 r 为真的条件是 p 为真) |
输入律 | p ⇒ (q ⇒ r) ├ (p ∧ q) ⇒ r | 若p,则(q为真时,r为真)可推出若(p与q)为真,则r为真 |
重言式 | p ├ (p ∨ p) | p 是真等价于 p 是真或 p 是真 |
排中律 | ├ (p ∨ ¬p) | p 或非 p 是真 |
同一律* | p = q ; p ⇒ r ├ q ⇒ r | p = q 且 (若p 则 r )等价 (若q 则 r) |
吸收律 | p ⇒ q ├ p ⇒ (p ∧ q) | 若p则q,可以推出若p则p且q |
布尔运算
基本逻辑符号
符号 | 名字 | 解说 | 例子 | 读作 |
---|---|---|---|---|
⇒⊃ | 实质蕴涵 | A ⇒ B 意味着如果 A 为真,则 B 也为真;如果 A 为假,则对 B 没有任何影响。 | x = 2 ⇒ x² = 4 为真,但 x² = 4 ⇒ x = 2 一般为假(因为 x 可以是 −2)。 | 蕴涵;如果… 那么 |
实质等价 | A B 意味着 A 为真如果 B 为真,和 A 为假如果 B 为假。 | x + 5 = y +2 x + 3 = y | 当且仅当; | |
¬ ~/ | 逻辑否定 | 陈述 ¬A 为真,当且仅当 A 为假。 | ¬(¬A) A x ≠ y ¬(x = y) | 非 |
∧ | 逻辑合取 | 如果 A 与 B 二者都为真,则陈述 A ∧ B 为真;否则为假。 | n < 4 ∧ n >2 n = 3(当 n 是自 然数的时候)。 | 与;且 |
∨+ | | 逻辑析取 | 如果 A 或 B有一个为真陈述 或二者均为真陈述,则 A ∨ B 为真;如果二者都为假,则 陈述为假。 | n $ \ge$ 4 ∨ n 2 n ≠ 3(当 n 是 自然数的时候)。 | 或 |
⊕⊻ | 陈述 A ⊕ B 为真,在要么 A 要么 B 但不是二者为真的时候为真。A ⊻ B 意思相同。 | (¬A) ⊕ A 总是真,A ⊕ A 总是假。 | 异或 | |
∀ | 全称量词 | ∀ x: P(x) 意味着所有的 x 都使 P(x) 都为真。 | ∀ n ∈ N : n² n | 对于所有 |
∃ | 存在量词 | ∃ x: P(x) 意味着有至少一个 x 使 P(x) 为真。 | ∃ n ∈ N(n 是偶数)。 | 存在着 |
∃! | 唯一量词 | ∃! x: P(x) 意味着精确的有一个 x 使 P(x) 为真。 | ∃! n ∈ N(n + 5 = 2n). | 精确的存在一个 |
:= ≡ | 定义 | x := y 或 x ≡ y 意味着 x 被定义为 y 的另一个名字(但要注意 ≡ 也可以意味着其他东西,比如全等)。 | cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)) | 被定义为 |
: | P : Q 意味着 P 被定义为逻辑等价于 Q。 | A XOR B : (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) | ||
( ) | 优先组合 | 优先进行括号内的运算。 | (8/4)/2 = 2/2 = 1, 而 8/(4/2) = 8/2 = 4。 | |
├ | 推论 | x ├ y 意味着 y 推导自 x。 | A → B ├ ¬B → ¬A | 推论或推导 |
L | 必然性 | 意味着如果不可能,为假。 | 必然的 | |
M | 可能性 | 意味着如果可能为真,不管实际上是真是假。 | 可能的 |
参考
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